Su un tavolo c'è una riga di 10 monete, tutte in euro ma di valori non tutti uguali.
• Alice prende una moneta da uno dei due estremi della fila.
• Bob prende una moneta da uno dei due estremi della fila rimasta.
• La pesca alternata di monete continua così fino a quando Bob prende l'ultima moneta.
Riesci a dimostrare che Alice può giocare in modo tale da garantirsi, alla fine, una somma di denaro non minore di quella di Bob?
Non ti si chiede di trovare la strategia migliore ma una strategia semplice, intuitiva, quasi immediata da realizzare e valida per un qualunque numero pari di monete.
(tratto da: Peter Mann Winkler, Mathematical Puzzles: A connoisseur's collection, 2003).
SOLUZIONE
Numeriamo le monete da 1 a 10.
L'idea vincente consiste nel rendersi conto che Alice può sempre prendere tutte le monete di posizione dispari o tutte quelle di posizione pari, indipendentemente dalle scelte di Bob.
Infatti, indicando per comodità con D le monete di posizione dispari, e con P quelle di posizione pari, si ha che all'inizio, i due estremi sono di tipo (D, P).
Se Alice sceglie D, i nuovi estremi saranno di tipo (P, P), per cui Bob dovrà scegliere per forza P.
I nuovi estremi saranno quindi di nuovo di tipo (D, P) e Alice potrà scegliere di nuovo D.
E così via fino alla fine delle monete.
Stesso discorso, ovviamente, se Alice sceglie P all'inizio.
Pertanto, ad Alice basterà effettuare la somma delle monete di posizione dispari e la somma delle monete di posizione pari; dopo di che sceglierà di prendere il gruppo di monete con somma maggiore.
(soluzione di Pietro Vitelli)
