Si può osservare che partendo da un rettangolo aureo e tagliando da questo un quadrato, quello che rimane è ancora un rettangolo aureo, più piccolo.
L'operazione può continuare all'infinito, ritagliando quadrati che lasciano sempre rettangoli aurei. Se uniamo poi i due vertici opposti dei quadrati successivi, com'è indicato in figura, otteniamo una spirale logaritmica, nota come la "spirale d'oro". La spirale logaritmica, che si ritrova spesso in natura, è l'unico tipo di spirale che mantenga sempre la stessa forma, quando continua ad allargarsi. Pensiamo ad esempio a certe conchiglie di molluschi (nautilus) che hanno proprio la forma della spirale logaritmica, forma che non cambia quando la conchiglia cresce.
Le galassie in generale seguono la spirale logaritmica. Sembra infatti che la spirale logaritmica sia naturalmente associata alle galassie che si comportano come sistemi parzialmente rigidi, ovvero con una velocità angolare costante per una grande percentuale del raggio.
Dal declino del periodo ellenico passarono circa mille anni prima che la sezione aurea tornasse nuovamente a stuzzicare le menti dei matematici, che ne rilevarono proprietà di natura algebrica, prima inconoscibili per via meramente geometrica.
Nel 1202 Leonardo Fibonacci pubblica il suo "Liber abaci", il libro col quale si diffonderanno in Europa le cifre indo-arabe, semplificando le modalità di calcolo nelle operazioni quotidiane.
Nel medesimo libro, Fibonacci introdusse pure per la prima volta, involontariamente, il concetto di successione ricorsiva, con la successione:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ... in cui ogni termine è la somma dei due precedenti.
La successione di Fibonacci:
0 + 1 = 1
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 5 = 8
5 + 8 = 13
8 + 13 = 21
13 + 21 = 34
21 + 34 = 55
34 + 55 = 89
55 + 89 = 144
..................
può essere riassunta dalla formula: Fn-2 + Fn-1 = Fn