Il cavallo è posizionato sulla scacchiera vuota e, spostandosi secondo le regole degli scacchi, deve occupare ogni casa esattamente una volta.
Si tratta di trovare un percorso che porti il cavallo ad occupare tutte le caselle della scacchiera partendo da una casella qualsiasi e passando una e una sola volta su ogni altra casella.
Se la casella di partenza e quella di arrivo sono ancora unite fra loro dalla mossa del cavallo, il viaggio di dice "chiuso", altrimenti è "aperto".
Un primo aiuto per risolvere il problema può venire dal consiglio del matematico francese De Moivre, noto per i suoi studi sul calcolo delle probabilità:
si cerchi di occupare prima la fascia esterna delle caselle della scacchiera, senza entrare, salvo i casi di assoluta necessità, nel quadrato centrale 4 x 4 e si proceda sempre nello stesso verso.
Solo quando tutte le caselle della fascia esterna saranno occupate, si passerà a quelle centrali.
In figura riportiamo una soluzione del problema, un viaggio "aperto", ma con uno schema particolarmente elegante, proposto da Dudeney.
Percorsi chiusi
Su una scacchiera 8x8, ci sono esattamente 26.534.728.821.064 percorsi chiusi "diretti" (due percorsi lungo lo stesso cammino che procedono in direzioni opposte sono contati separatamente, essendo rotazioni e riflessioni).
Il numero dei percorsi chiusi "indiretti" è la metà di questo numero, dato che ogni percorso può essere tracciato all'inverso.
Ci sono 9.862 percorsi chiusi indiretti su una scacchiera 6x6. Non esistono percorsi chiusi per scacchiere più piccole, ad eccezione del caso 1x1 (questo è un corollario del teorema seguente).
Eulero, il grande matematico svizzero, propose nel Settecento, una strategia di gioco che consente di porre rimedio ad eventuali errori, recuperando caselle che siano rimaste fuori dal percorso, non più raggiungibili dal cavallo, purché queste non siano più di quattro.
Da un punto di vista strettamente matematico il problema si risolve con grafi Euleriani ed Hamiltoniani.
Le soluzioni possibili sono 122.802.512, non dovrebbe essere difficile trovarne qualcuna.
